Okruhy otázek ke státním závěrečným zkouškám magisterského studia
Obor: Matematická fyzika
Předmět: Lieovy algebry, grupy a jejich aplikace
Předměty vztahující se k okruhům:
- 02LIAG Lieovy algebry a grupy
1. Lieova grupa – definice grupy, definice diferencovatelné variety a hladkosti zobrazení, definice Lieovy grupy, maticové Lieovy grupy
2. Levoinvariantní vektorová pole – definice vektorového pole, tečného a kotečného zobrazení, ekvivalentní definice levoinvariantních vektorových polí, Lieova algebra dané Lieovy grupy
3. Exponenciální zobrazení – definice, lokální difeomorfismus algebry a grupy, toky levoinvariantních vektorových polí
4. Podgrupy a podalgebry – definice, podalgebra Lieovy algebry jako integrabilní distribuce a podgrupa v Lieově grupě jako jí odpovídající maximální list
5. Lieovy grupy s danou Lieovou algebrou – definice a konstrukce univerzálního nakrytí, definice grupové struktury na něm, popis všech souvislých Lieových grup s danou Lieovou algebrou
6. Akce grupy - definice, základní typy akcí, podgrupa izotropie, levé a pravé cosety, homogenní prostory
7. Reprezentace Lieovy grupy, resp. Lieovy algebry – definice, invariantní podprostory, (i)reducibilita, Schurovo lemma, adjungovaná reprezentace, příklady úplně reducibilních reprezentací
8. Lieova algebra – definice, základní typy Lieových algeber, Leviho věta o rozkladu na radikál a poloprostý Leviho faktor, příklady jednotlivých typů algeber v nízkých dimenzích
9. Lieova a Engelova věta – formulace a důsledky pro strukturu řešitelných a nilpotentních algeber
10. Killingova forma – definice symetrických forem invariantních vzhledem k automorfismům a ad-invariantních forem, definice Killingovy formy, její základní vlastnosti
11. Cartanova kritéria – formulace Cartanových kritérií řešitelnosti, resp. poloprostoty, jejich důsledky pro vlastnosti poloprostých Lieových algeber
12. Cartanova podalgebra – definice, konstrukce, systém kořenů, základní vlastnosti Cartanovy podalgebry komplexní poloprosté Lieovy algebry
13. Weylova-Chevalley normální forma komplexní poloprosté Lieovy algebry – detailní vlastnosti kořenového systému a kořenových podprostorů (nepřerušené posloupnosti kořenů, dimenze kořenových podprostorů, násobky kořenů,Cartanova celá čísla), formulace Weylovy-Chevalley věty
14. Kořenové diagramy – kořeny jako prvky Eukleidova prostoru, Weylova grupa, kladné, záporné a prosté kořeny a jejich vztahy, úhly mezi kořeny, Cartanova matice
15. Dynkinovy diagramy – definice, vztah ke kořenovým diagramům, Cartanova klasifikace komplexních prostých Lieových algeber
16. Reálné formy komplexních Lieových algeber – definice, konstrukce pomocí involutivních automorfismů, význam kompaktních reálných forem poloprostých algeber pro teorii reprezentací, Weylova věta o úplné reducibilitě reprezentací
17. Konečněrozměrné reprezentace komplexních poloprostých Lieových algeber – váhy, váhové diagramy, nejvyšší váhy, fundamentální váhy a fundamentální reprezentace
18. Tenzorový součin reprezentací – konstrukce, invariantní podprostory, využití ke konstrukci reprezentací z definující reprezentace prosté maticové Lieovy algebry
19. Spinorové reprezentace – Cliffordova algebra, její využití ke konstrukci spinorových reprezentací algeber B_l a D_l, proč nelze spinorové reprezentace získat z definující reprezentace tenzorovými součiny?
20. Gell-Mannův kvarkový model jako příklad využití reprezentací Lieovy algebry su(3) – fyzikální interpretace kořenových vektorů, prvků Cartanovy podalgebry, váhových diagramů, uspořádání silně interagujících částic částic do multipletů, kvarková interpretace