It is known that in the absence of magnetic field, integrable Hamiltonian systems are separable if and only if a pair of quadratic commuting integrals exists. When the system possesses only higher order integrals even superintegrability does not force separability. In presence of magnetic fields the relationship between separability and integrability is lost already with quadratic integrals.

Thus, a question arises on what to do with such systems that are integrable, but not separable, i.e. systems for which the ability to integrate the equations of motion does not guarantee the explicit construction of the integrating variables (in position space).

The task here  is

1) to study and understand the basic definitions related to the topic, i. e. the concepts of integrability, superintegrability, separability and their interrelationship,

2) to get acquainted with known results on three dimensional integrable and superintegrable systems in a magnetic field,

3 ) to launch its own research in the field of (super)integrable but not separable systems with a magnetic field.

1) Eisenhart, L. P., Separable systems of Stackel. Ann. of Math. (2) 35 (1934), no. 2, 284–305. 
2) Miller, W., Jr.; Post, S.; Winternitz, P., Classical and quantum superintegrability with applications. J. Phys. A 46 (2013), no. 42, 423001, 97 pp.
3) Charest, F.; Hudon, C.; Winternitz, P., Quasiseparation of variables in the Schrödinger equation with a magnetic field. J. Math. Phys. 48 (2007), no. 1, 012105, 16 pp.
4) Kubů, O.; Marchesiello, A., Šnobl, L. Superintegrability of separable systems with magnetic field: the cylindrical case. J. Phys. A 54 (2021), no. 42, Paper No. 425204, 38 pp.

Courantovy algebroidy si lze nejlépe představit jako přirozené zobecnění kvadratických Lieových algeber, kde je podkladový vektorový prostor nahrazen modulem řezů vektorového fibrovaného prostoru nad okruhem hladkých funkcí. Jejich poměrně nedlouhá historie je ukázkovým příkladem prolínání moderní matematiky a fyziky. Od doby svého vzniku se tak Courantovy algebroidy staly nepostradatelným nástrojem jak v diferenciální geometrii (symplektická a Poissonova geometrie), tak v teoretické fyzice (klasická mechanika s vazbami, supergravitace, matematický popis T-duality).

Matematické struktury lze velmi často sdružovat do tzv. kategorií.  Ty vždy sestávají z objektů, každým dvěma objektům příslušnou kolekcí morfismů a z asociativní operace jejich skládání. Jako jednoduchý příklad uveďme kategorii topologických prostorů, kde objekty jsou topologické prostory, morfismy spojitá zobrazení a skládání je přirozeně definované jako skutečné skládání množinových zobrazení. Lze tedy očekávat, že i Courantovy algebroidy tvoří objekty jisté kategorie, jejíž morfismy bude snadné rozpoznat.

Ukázalo se, že realita je složitější. Nalézt definici morfismu Courantova algebroidu je nejen poměrně komplikované, ale výsledné vlastnosti jsou příliš restriktivní (kategorie má „málo šipek“). Podobný problém se vyskytl již v symplektické geometrii. Jeho částečným řešením je místo zobrazení uvažovat širší třídu binárních relací než jsou množinová zobrazení, takzvané lagrangeovské korespondence (též kanonické relace). Ne každé dvě korespondence lze však složit v korespondenci novou. Výsledkem tedy není kategorie v pravém slova smyslu. Přesto je užitečné s touto neúplnou „kategorií” pracovat. Modifikací tohoto postupu lze definovat relace Courantových algebroidů.

Úkolem studenta bude seznámit se podrobně s definicí vektorových fibrovaných prostorů, Courantových algebroidů a porozumět problémům s jejich morfismy nastíněným v předchozím odstavci.

[1] J. M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds, Springer, 2013

[2] J. Vysoký: Hitchhiker's guide to Courant Algebroid Relations, J. Geom. Phys. 151 (2020) 103635

[3] D. Roytenberg: Courant algebroids, derived brackets and even symplectic supermanifolds, PhD. Thesis, 1999

Úkolem je seznámit se s klasickými výsledky týkajícími se separace proměnných v Hamilton-Jacobiho rovnici (a případně též v Schrodingerově rovnici) a s vlastnostmi ortogonálních souřadných systémů, v nichž je separace možná. Se separabilitou Hamilton-Jacobiho rovnice též úzce souvisí integrabilita ve smyslu existence potřebného počtu nezávislých integrálů v involuci, které pro separabilní systémy mají speciální tvar. 

Toto téma je přípravou pro následné studium vztahu mezi (multi)separabilitou a (super)integrabilitou mechanických systémů. Jeho zpracování bude vyžadovat současné seznámení se se základními pojmy Riemannovy geometrie, která je potřebná pro studium Eisenhartových článků.

1) Eisenhart, Luther Pfahler Separable systems of Stackel. Ann. of Math. (2) 35(1934), no. 2, 284–305.
2) Eisenhart, Luther Pfahler Separation of the variables in the one-particle Schroedinger equation in 3-space. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 35, (1949). 412–418.
3) Levi-Civita, T.; Sulla integrazione della equazione di Hamilton-Jacobi per separazione di variabili. (Italian) Math. Ann. 59 (1904), no. 3, 383–397.
4) Stäckel, Paul; Ueber die Integration der Hamilton'schen Differentialgleichung mittelst Separation der Variabeln. (German) Math. Ann. 49 (1897), no. 1, 145–147.