Courantovy algebroidy si lze nejlépe představit jako přirozené zobecnění kvadratických Lieových algeber, kde je podkladový vektorový prostor nahrazen modulem řezů vektorového fibrovaného prostoru nad okruhem hladkých funkcí. Jejich poměrně nedlouhá historie je ukázkovým příkladem prolínání moderní matematiky a fyziky. Od doby svého vzniku se tak Courantovy algebroidy staly nepostradatelným nástrojem jak v diferenciální geometrii (symplektická a Poissonova geometrie), tak v teoretické fyzice (klasická mechanika s vazbami, supergravitace, matematický popis T-duality).
Matematické struktury lze velmi často sdružovat do tzv. kategorií. Ty vždy sestávají z objektů, každým dvěma objektům příslušnou kolekcí morfismů a z asociativní operace jejich skládání. Jako jednoduchý příklad uveďme kategorii topologických prostorů, kde objekty jsou topologické prostory, morfismy spojitá zobrazení a skládání je přirozeně definované jako skutečné skládání množinových zobrazení. Lze tedy očekávat, že i Courantovy algebroidy tvoří objekty jisté kategorie, jejíž morfismy bude snadné rozpoznat.
Ukázalo se, že realita je složitější. Nalézt definici morfismu Courantova algebroidu je nejen poměrně komplikované, ale výsledné vlastnosti jsou příliš restriktivní (kategorie má „málo šipek“). Podobný problém se vyskytl již v symplektické geometrii. Jeho částečným řešením je místo zobrazení uvažovat širší třídu binárních relací než jsou množinová zobrazení, takzvané lagrangeovské korespondence (též kanonické relace). Ne každé dvě korespondence lze však složit v korespondenci novou. Výsledkem tedy není kategorie v pravém slova smyslu. Přesto je užitečné s touto neúplnou „kategorií” pracovat. Modifikací tohoto postupu lze definovat relace Courantových algebroidů.
Úkolem studenta bude seznámit se podrobně s definicí vektorových fibrovaných prostorů, Courantových algebroidů a porozumět problémům s jejich morfismy nastíněným v předchozím odstavci.
[1] J. M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds, Springer, 2013
[2] J. Vysoký: Hitchhiker's guide to Courant Algebroid Relations, J. Geom. Phys. 151 (2020) 103635
[3] D. Roytenberg: Courant algebroids, derived brackets and even symplectic supermanifolds, PhD. Thesis, 1999